Justus: Hinges and 2D discrete#
Macaulay’s methode is een methode om de kracht en doorbuiging eigenschappen van constructies te bepalen aan de hand van de differentiaalvergelijking voor buiging. Met gebruik van singularity functies is het mogelijk discontinue belastingen werkend op een constructie in één vergelijking te schrijven. Op deze wijze is de gehele constructie te beschrijven met behulp van één differentiaalvergelijking. Dit in tegenstelling tot de klassieke integratie methode, waar voor elke discontinuïteit de constructie wordt opgedeeld in verschillende vergelijkingen. De methode van Macaulay biedt als voordeel dat de integratieconstanten gering blijven. Daarnaast wordt de invloed van een desbetreffende kracht op de constructie zichtbaar. Uitbreidingen op de methode zijn er op basis van discontinuïteiten in de buigstijfheid, doorbuiging en rotatie van de constructie. De methode is echter nooit uitgebreid voor tweedimensionale constructies.
In dit onderzoek wordt met behulp van exploratief en toegepast onderzoek een antwoord gezocht op de volgende onderzoeksvraag: Hoe kan de methode van Macaulay voor tweedimensionale constructies worden uitgebreid, en vervolgens worden toegepast?
De differentiaalvergelijking voor extensie blijkt de mogelijkheid te bieden, om op eenzelfde wijze als voor de situatie bij buiging, de methode van macaulay toe te passen voor constructies die normaalkracht bevatten. Axiale krachten worden met singularity functies met de desbetreffende orde geschreven in deze differentiaalvergelijking. Daarnaast worden discontinuïteiten in de axiale verplaatsing van de constructie met een singularity functie met orde -2 geschreven. De betreffende axiale verplaatsing wordt hierin als onbekend verondersteld. De extra voorwaarde die wordt verkregen is dat de normaalkracht ter plaatse van deze discontinuïteit gelijk aan nul dient te zijn. Eveneens als voor de situatie bij buiging is het mogelijk verende verbindingen en opleggingen te modelleren. De extra voorwaarde die hiervoor wordt verkregen is gebaseerd op de theorie van lineaire veren.
Vervolgens blijkt dat tweedimensionale constructies beschreven dienen te worden met de differentiaalvergelijkingen voor buiging en extensie. Met een discrete aanpak worden per hoekpunt vier onbekenden geïntroduceerd. Deze onbekenden hebben betrekking op de verplaatsing in axiale richting, de verplaatsing in dwarsrichting (doorbuiging), de normaalkracht en de dwarskracht. Op basis van vier verkregen relaties per hoekpunt is het mogelijk de onbekenden te achterhalen en zo de karakteristieken van de tweedimensionale constructie te bepalen. De relaties hebben betrekking op de wisselwerking tussen de normaalkracht en dwarskracht, en de wisselwerking tussen de axiale verplaatsing en de doorbuiging. Het is te concluderen dat de gevonden methode voor de uitbreiding van Macaulay voor tweedimensionale constructies correct en toepasbaar is. Met betrekking tot effectiviteit is de vergelijking gemaakt met de methode van het klassiek integreren. Op basis van de veronderstelling dat de gevonden methode vier extra onbekenden introduceert per hoekpunt en de klassieke integratiemethode zes, is te concluderen dat deze methode een duidelijk te overwegen alternatief is op de klassieke integratie methode.
van der Wulp [vdW23]
Documenten#
GitHub repository, examples also shown in this book